1958年　二次　幾何　[2] - イガブロギュ

平面上において, 2 定点 A, B を両端とする任意の円弧の 3 等分点のうち A に近い方の軌跡を求めよ。

図のように座標軸を取り,
$OA=OB=a$ ,
円の中心を $C(0,-p)$ , 半径を $r$ ,
求める軌跡の点を $P(x,y)$ ,
CP と $y$ 軸のなす角を $\theta$ とする.

$x=r\sin\theta$ …(1)
$y=r\cos\theta-p$ …(2)
$p=r\cos3\theta$ …(3)
$a=r\sin3\theta$ …(4)

ここから $r$ と $\theta$ と $p$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を導くわけですが, とりあえず (3) を (2) に代入して整理するとうまいこと (1) が使えるようになるのでこれを代入して, 式はなるべく簡単な形がよいので $2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta$ の関係式を使います.
その後, $\theta$ を消去するために $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ の関係式を使いたいので, $\sin2\theta$ を求めます.

(1), (2), (3) より
$y=r\cos\theta-r\cos3\theta$
$=r\cos\theta-r(4\cos^3\theta-3\cos\theta)$
$=4r\cos\theta(1-\cos^2\theta)$
$=4r\sin^2\theta\cos\theta$
$=4x\sin\theta\cos\theta$
$=2x\sin2\theta$
よって
$\sin2\theta=\frac{y}{2x}$ …(5)

次は (4) を使うしかないですね.
これも (1) を代入して簡単にしますが, 今度は $\cos2\theta$ が必要になるので, $\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$ の関係式を使えばよいだろうと考えます.

(1), (4) より
$a=r(3\sin\theta-4\sin^3\theta)$
$=r\sin\theta(3-4\sin^2\theta)$
$=x\{2(1-2\sin^2\theta)+1\}$
$=x(2\cos2\theta+1)$
よって
$\cos2\theta=\frac{a-x}{2x}$ …(6)

「東京大学数学入試問題50年」の解答では $x$ 軸と $y$ 軸の取り方が逆です.
とすると, $\cos2\theta=\frac{\frac{a}{y-1}}{2}$ とあるのは $\cos2\theta=\frac{\frac{a}{y}-1}{2}$ の誤植だと思われます.

(5), (6) より
$\sin^22\theta+\cos^22\theta=1$
$\left(\frac{y}{2x}\right)^2+\left(\frac{a-x}{2x}\right)^2=1$
これを整理して
$\frac{\left(x+\frac{a}{3}\right)^2}{\left(\frac{2a}{3}\right)^2}-\frac{y^2}{\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)^2}=1$