分出の公理 は適当な論理式です. 集合 に対して, その要素で を満たすもの全てを集めた集合 が存在すると主張してます. この を と書くことにします. これも外延性の公理から一意に定まります. はパラメータです. パラメータはいくつでも増やすことができま…

対の公理 任意の集合 に対し, 要素が であるか であるかのいずれかであるような集合 が存在すると言ってます. 外延性の公理から, そのような集合は一意に定まり, これを と書くことにします. ちなみに なる集合は, 単に と書き, これを単集合(singleton)と言…

外延性の公理 の任意の要素が の要素であり, の任意の要素が の要素であるとき, と は集合として等しいことを意味するものです. つまり, 集合というものはその要素によってのみ特徴づけられることを要請するものです. ちなみに, 上の逆 は, 一階述語論理の公…

強制法を理解できないことの一因は、集合論の基礎をろくに理解していないことだと気付いたので、基礎をしっかり勉強し直すことにしました。 しかし、一人で本を読んでいるだけだとどうしても妥協してしまいがちなので、Jechの「Set Theory」を読んで証明を理…

Jechの「Set Theory」で かつ ならば であることの証明を読んだのですが、何だか技巧的だなぁと感じました。 もしかしたら自分の直感が足りないだけで、慣れればごく自然な証明だと認識できるようになるのかもしれませんが。 もっと直接的な証明はないもので…

高校数学の勉強と、集合論の勉強を並行して行うことが多いのですが、つくづく、脳みその中の使う部位が全然違うなーと感じます。 そんなわけで、高校数学の勉強に疲れたら集合論の勉強をし、集合論の勉強に疲れたら高校数学の勉強をする、ということをしてい…

今の仕事に就いて、早4年目となりました。 1年目は、「何を教えるか」を考えました。 しかし、いくら教えたところで、身につかなかったら意味がないのです。 そこで、2年目は、「どう教えるか」を考えました。 要点さえ抑えれば、そうそう多くのことを教えな…

これから数十年もすれば、食料の生産と流通にかかるコストがほとんど0になり、先進国の多くの人達は働かなくても、ただ食べて寝るだけの生活は送ることができるようになると思う。 だから、年金の額が多少減っても大丈夫。

ネット上の色々なところで「この世界は矛盾している」云々の件を目にしますが、そもそも「世界が矛盾している」って、どういう意味なんでしょ。 「この世界のある側面に対する人間の解釈を論理に落とし込んだ際に相反する2つの矛盾した結論が得られる」とい…

SとMとLは、読むとどれも「エ」から始まる上、終わりは「ス」「ム」「ル」と、全て「う段」になっているので、非常に紛らわしい。 ドトールで店員さんにドリンクのサイズを言うと、しょっちゅう聞き間違えられて困っちゃう。

強制法が、いまだに理解できません。 うーん、困った。 自分、才能がないのかもしれません。

ニンテンドーDSみたいに、パソコンもタッチパネルになればいいのに。

教員免許状というのは、一般には大学の教職課程で所定の科目を履修し修めたことを証明する、いわゆる単位修得証明書のようなものなのだから、それを更新することそれ自体には全く意味がないと思う。 誰が大学の単位修得証明書を更新制にしなければならないな…

「無矛盾な理論はモデルを持つ」という定理は、構文論から意味論への言い換えに過ぎないのではないかと思っていたのですが、色々と考えているうちに頭がこんがらかってきました。 ∃xφ(x)を付け加えるとω矛盾するが無矛盾な体系Tにおいて、定数cを加えてφ(c)…

確か小学生の頃だったと思うのですが、ある昔話を本で読みました。 その話の中にはどうしようもない貧乏の飲んだくれの男がいて、ひょんなことから善い行いをし、その褒美として美女に扮した神様だかに、いくらでも酒が出てくるとっくりをもらったのでした。…

PとNPが等しい、または等しくないという主張を形式化した文が体系に依存して構成されるものだとすると、P対NP問題を形式的体系内で解決することは難しいのではないかと思います。 ゲーデルの第二不完全性定理の証明に使われる証明可能性述語はまさに体系に依…

数学とは全く関係のない話ですが。 他人のことを理解しようと努めないで、すぐに人を嫌う人がいます。 しかし、いつも相手の身になって考える習慣ができていれば、怒りの感情は起きにくくなるものです。 また、そうすることが最終的には相手のためにも自分の…

チューリングマシンは可算無限個あり、しかも洩れなく列挙することが可能なので、各チューリングマシンに適当にナンバリングをすることができます。 要するに、ゲーデル数を割り当てることができます。 しかしながら、普通にコード化すると、ある自然数には…

定数係数線形差分方程式の解の公式の証明ができあがりました。 量にして、A4用紙7枚分くらい。 証明の基本は単なる数学的帰納法なのですが、テクニカルな部分が多く、なかなか楽しめました。 証明中では抽象的な概念は何一つ扱っていませんので、頑張れば高…

今日もまた、スノーボードに行ってきました。 もやが、もやーって出てました。 それとは関係ないのですが、来シーズンの目標を立てました。 「スノーボード技能テストで1級を取る！」 です。 頑張るぞっ。

ふと思い立って、同次とは限らない一般の定数係数線形差分方程式の解の公式を作ってみました。 定数係数 階線形差分方程式 によって定義される数列 について, その一般項 は のとき, 次式で与えられる. ここで, は自然数 の分割のうち, 最大数が 以上 以下で…

ふとしたことから、ビンゴの確率について考えてみたら、なかなか難しいことが分かりました。 まず、nマス×nマスからなるビンゴを次のように定義します。１．n×nマスからランダムに1つを選び、そこに丸を付ける ２．残ったn×n-1マスからランダムに1つを選び、…

行ってきました。 浅間山が噴煙を上げていました。

今日は仕事が休みだったので、ここぞとばかりに行ってきました。 帰りにワックスを塗ってもらったのですが、そこで、面白い看板を見つけました。 チューンナップの料金のところに上から紙が貼ってあって、そこに大きく「ムリ」と書かれています。 こうも堂々…

前回の話の続きです。 のグラフを、原点を中心として正の方向に だけ回転させたグラフを表す方程式は …(1) で表される、というのが、前回の結論でした。 ところで、一般に二次関数 のグラフを適当に回転させたグラフを表す方程式は …(2) で表される、という…

唐突ですが、二次関数のグラフ、例えばのグラフは、次のようになります。 このことを知った、当時中学三年生の私は、このグラフを右に90度傾けたグラフを表す関数はどんなものだろうかと考えました。 答えは単純で、 軸と 軸を入れ替えればよいのですから、 …

今日もまた、スノーボードに行ってきました。 こぶがたくさんあるので、こぶフェチの人にはたまらないかと思います。 帰りの特急列車の中で飲むビールの味は格別でした。 2時間以上も電車に揺られながら、車窓からのどかな風景を望み、のんびりと読書をする…

遅ればせながら、「数学ガール」を読みました。 以下、読んでみた感想を雑多に書き綴ります。 まず、数学的な内容がしっかりしていると感じました。 もちろん、一般向け図書なので厳密でない個所もあるのですが、そこは登場人物がしっかりその旨を説明してく…

前回の話の続きです。証明の概略を述べます。 まずは次のような行列式を考えてみます。 この行列式を展開して整理すると、5の分割に対応する全ての項が現れます。 例えば、 は、1 が 3 個で 2 が 1 個、すなわち、1+1+1+2=5 を表しています。 係数の -4 は、…

分割数について考えているうちに、一つの公式が出来上がりました。 まずは記号の定義から。 整数 n の分割全体の集合を で表し、分割 に含まれる i の個数を で表します。 例えば、 5 = 1+1+1+1+1 = 1+1+1+2 = 1+2+2 = 1+1+3 = 2+3 = 1+4 = 5 なので、5 の分…