チューリングマシンの動作を数式で表現しようと思い立ちました。 数式で表現するにあたり必要なのは、チューリングマシンのインデックスと、チューリングマシンの状態と、テープの状態、の、それぞれを適当にコード化したもの。 したがって、3つの自然数をい…

分割数を表す有限な閉じた式の証明が完了しました。 証明は難しいものではなく、理工系の大学一年生にでも充分に理解可能であると思われます。 っていうか、対称群の概念と の記号の意味さえ分かれば充分です。 どうしてこんなに簡単なことが今まで発見され…

分割数を求める有限な閉じた式を作ることに成功しました。 もっと厳密に言うと、分割数を有限個の有理数の和として表すことに成功しました。 これまでに、分割数を無限個の無理数の和として表す公式は発見されていたのですが、自分のような結果は初めてなの…

唐突ですが、次のような関数を構成したいと思いました。 ただし、構成にあたっては四則演算と初等的な関数をのみを用いることとします。 それから、今回扱う関数は全て、定義域は Z です。 ちなみに、 は、単位ステップ関数と呼ばれます。 ここで、次のよう…

恥ずかしながら、今日になってやっと、外分の意味を理解することができました。 うわー、恥ずかしいー。 線分 AB の外分点は、線分 AB の内分点の概念を拡張したものです。 簡単のため、数直線上で A は B の左側にあるものとします。 ここで、点 P が線分 A…

巷で話題のTwitterなるものに登録してみました。 こちらに投稿するまでもないことを書き殴っていこうと思っています。 URL:http://twitter.com/igaris/

フジテレビの連続テレビドラマ「白い春」が面白いです。 と思ったら、今日が最終回でした。 終わり方が無理やりな感じで、少し残念でした。

協同出版発行の、教員採用試験の過去の数学の問題を集めた本を読んでいるのですが、あまりに誤植が多いのです。 というか、もはや誤植とは言えないくらいにひどい間違いが散見されます。 誤解答も非常に多く、数学に対する冒涜だと受け取れなくもないくらい…

モデルやら何やらの概念ですらZFCの中で形式化して色々な体系の相対的無矛盾性をZFCの中で証明するのだということが分かったおかげで、今まですっきりしなかったことが大分すっきりしてきました。 何というか、自分には色々な体系の相対的無矛盾性は特定の体…

2点 , を通る直線の方程式は、 のとき …(1) で表されると、高校数学の教科書には書いてあります。 これは、点 を通り傾きが m の直線の方程式が で表されることから導かれます。 一方、直線が も通ることから、こちらを代入することもできます。 すると …(2)…

前回の記事で、いい加減なことを書いてしまいました. ごめんなさい. 自分に対する戒めも込めて今回の記事を書きます. また何か間違ったことを書いてしまっていたら, ご指摘いただけると助かります. 定理 (i) 到達不能基数の存在は ZFC から証明できない. (ii…

非可算正則極限基数のことを, 弱到達不能基数と呼びます. 何故そのように呼ばれるのかというと, とっても大きくて, 普通の集合演算を繰り返すだけでは到達できないからです.どれくらい大きいのか考えてみましょう. が非可算正則極限基数とすると, である一方…

非可算正則極限基数（弱到達不能基数）がどれだけ大きいのか考えているうちに, 疑問が起こりました. ZFC において, 非可算正則極限基数は(もし存在するならば)共終数が である任意の基数よりも大きい, という言明は成り立つのでしょうか. とりあえず, 次のこ…

以前にこのブログに載せた二つの因数分解の問題の解答を載せておきます。 問題1 これは各文字について2次式になっています。 こういう場合は、適当な文字について整理するのが定石。 さらに、x について整理してから y について整理すると吉。 与式 問題2 x …

最近, 集合論の勉強に熱中しています. 上手い定義は豊かな数学の世界を生み出すということを実感し, 感動しています. 今回は共終数についての基本的な補題やら定理の証明を載せておきます. 補題 極限順序数 について (i) かつ ならば の順序型は 以上. (ii) …

Jechの「Set Theory」には増加列を用いた共終数の定義と, それによるいくつかの補題の証明が載っているのですが, 増加列はどうにも自分にはしっくりこないので, 同じことなのですが違う表現でもって共終数を定義して, それによるいくつかの補題の証明を自分…

順序数 が, それより小さい任意の順序数との間に全単射をもたないとき, を基数(cardinal number)と呼びます. 集合 が整列順序のとき, その間に全単射が存在する順序数が存在します. そこで, 整列順序 の濃度 を, 全単射が存在する最小の順序数(=基数), と定…

ふと思い立って、次のような問題を作ってみました。 次の式を因数分解せよ。 因数分解の基本がちゃんと理解できていれば解ける問題です。 とは言っても、実際に解くにあたっては、因数分解の解法にかなり習熟している必要があるかと思われます。 暇つぶしに…

集合の"大きさ"を比べるには, 二つの集合間の写像を考えると都合がよいのです. 例えば, 二つの集合間に全単射が存在すれば, 二つの集合の"大きさ"は等しいと考えることができます. というわけで, , の間に全単射が存在するとき とかき, 二つの集合は同じ濃度…

自然数に足し算, 掛け算, べき乗が定義できたように, 順序数にもそれらを定義することができます. ここで, 超眼再帰が大活躍します. 足し算 任意の順序数 について (i) . (ii) 任意の順序数 に対して . (iii) 任意の極限順序数 に対して . 足し算は二項演算…

前回, 超眼再帰についてよく分かっていなかったので, 勉強し直し, 不備を埋めてみました. 何か間違いがありましたら, 教えて頂けると助かります. 超眼再帰 クラス関数 に対して, あるクラス関数 が一意に存在して, 任意の について . ここで, は, 関数 の定…

ふと思い立って、次のような問題を作ってみました。 次の式を因数分解せよ。 因数分解の基本がちゃんと理解できていれば解ける問題です。 高校1年生の娘さんにいかがでしょうか＞数学科出身のお父さん 問題を出した途端に放棄されたら悲しいですが（＞＜） …

普通の数学における数学的帰納法や関数の再帰的定義は, その及ぶ範囲が自然数であることがほとんどです. 数学的帰納法は任意の自然数について述語が正しいことを証明する原理で, 再帰的定義は定義域が自然数全体の関数を再帰的に定義する場合によく用いられ…

集合 が推移的(transitive)であるとは, の要素が の部分集合になること. 例えば, に対し, かつ です. このような集合は普通の数学では普通は現れませんが, 集合論では大活躍することになります. 推移的であることを次のように言い換えることもできます. なら…

線形順序 が整列順序(well-ordered set)であるとは, の任意の空でない部分集合が最小元を持つこと. 整列順序は互いにその"長さ"を比較可能です. 順序数とも関係があります. 補題 が整列順序で が増加関数であるとき, 任意の について . 証明 なる が存在する…

集合 上の二項関係, すなわち の部分集合(ここでは で表す)は, 次の二つの条件を満たすとき, 半順序(partial ordering)であるといいます. (i) 任意の について (ii) [tex:pq] 関係 についても同じ用語が使われることがあり, 上記のものは特に区別する必要が…

置換の公理 とすれば は(真のクラスかもしれない)関数なので, と定義すれば, 置換の公理は が(真のクラスかもしれない)関数で が集合ならば, その像 も集合になる, という意味です. 集合 を関数 で移した先の全体は よりは大きくなり得ず, したがって集合で…

無限の公理 この を帰納的集合(inductive set)と呼びます. あとで述べる自然数の定義から, 帰納的集合は自然数全体の集合を含むことが分かります. 帰納的集合は無限集合ですが, 無限集合の概念はしっかりと定義する必要があります.

べき集合の公理 ここで, は の略記であると考えます. この を の部分集合と呼び, のとき, の真部分集合(proper subset)であると言います. 部分集合が集合であることは, 分出の公理によります. べき集合の公理は, 任意の集合 に対してその部分集合全体からな…

和集合の公理 任意の集合 に対し, その要素の全てが のある要素の要素であり, の要素の要素は全て持っているような集合 が存在する, というものです. 文章で書くと分かりにくいですね. このような集合を と書くことにし, の和集合と呼びます. 例えば のとき,…